The Torah explicitly forbids tattooing; coloring the skin permanently.
Both puncturing the skin and filling the holes with ink and putting ink on the skin and then injecting it are forbidden.
However, one may put colored medication on wounds even if it will cause a permanent discoloring, since the wound will anyway leave a scar making it obvious that it's not a tattoo.
Source: KSA 169:1
סעיף א - כתיב בתורה וכתובת קעקע לא תתנו בכם, מהו כתובת קעקע, כתב המחוקה ושקוע שאינו נמחק לעולם, זהו השורט על בשרו וממלא מקום השריטה בכחול או בדיו או בשאר צבעונים הרושמים. וכן אם צובע תחלה בצבע ואחר כך שורט במקום הצבע עובר בלאו, ומכל מקום מותר ליתן אפר ושאר דברים על המכה לרפואה, אף על פי שישאר הרושם כי גם ממכתו ישאר רושם, ומוכיח עליו שלא עשה משום כתובת קעקע.
סעיף ב - כתיב ושרט לנפש לא תתנו בבשרכם, וכתיב לא תתגודדו ולא תשימו קרחה בין עיניכם למת, וגדידה ושריטה אחת הן, ואסורין בין בפני המת בין שלא בפני המת, ואפילו להכות בידו על בשרו עד שדם יוצא אסור, ואפילו על צער אחר אסור.
סעיף ג - קרחה הוא שתולש משער ראשו על מת, ואפילו בשערה אחת איכא איסורא, וגם הנשים מוזהרות בבל יקרחו ומכל שכן בבל ישרטו.
